Giá trị trung bình và phương sai

Giá trị trung bình hay giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên phân phối mũ X với tham số tỉ lệ λ được cho bởi công thức:

E [ X ] = 1 λ {\displaystyle \mathbf {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}}

Như trong ví dụ về điện thoại ở mục trước, nếu ta nhận được các cú điện thoại với tỷ lệ trung bình hai cú mỗi giờ, thì ta có thể trông đợi khoảng thời gian nửa tiếng cho đến khi nhận được cú tiếp theo.

Phương sai của X là 1 λ 2 {\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}} .

Không nhớ

Một tính chất quan trọng của phân phối mũ là nó không nhớ. Nghĩa là nếu một biến ngẫu nhiên T có phân phối mũ, xác suất điều kiện của nó phải thỏa mãn:

P ( T > s + t | T > t ) = P ( T > s ) for all   s , t ≥ 0. {\displaystyle P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ s,t\geq 0.}

Công thức trên có nghĩa rằng xác suất điều kiện rằng ta cần đợi, chẳng hạn, 10 phút nữa trước khi cú điện thoại tiếp theo được gọi đến, biết rằng ta đã đợi nó 30 phút rồi, không khác gì với xác suất cho việc ta cần đợi thêm 10 phút nữa cho đến khi cú điện thoại tiếp theo được gọi đến, biết rằng ta vừa mới bắt đầu quá trình đợi. Sinh viên học môn xác suất thường gặp phải nhầm lẫn đó. Thực tế rằng P(T > 40 | T > 30) = P(T > 10) không có nghĩa rằng các biến cố T > 40 và T > 30 là độc lập. Tóm lại, tính chất không nhớ của phân bố xác suất của thời gian chờ đợi T cho đến khi có cú điện thoại tiếp theo có nghĩa là

(Đúng)   P ( T > 40 ∣ T > 30 ) = P ( T > 10 ) . {\displaystyle \ P(T>40\mid T>30)=P(T>10).}

Nó không có nghĩa là

(Sai)   P ( T > 40 ∣ T > 30 ) = P ( T > 40 ) . {\displaystyle \ P(T>40\mid T>30)=P(T>40).}

(Công thức trên có nghĩa độc lập. Nhưng hai biến cố này không độc lập)

Chỉ có các phân phối mũ là các phân phối xác suất không nhớ liên tục.

Phân phối mũ cũng có một hàm rủi ro (hazard function) là hằng số.

Tứ phân vị

Hàm điểm vi phân (quantile function - hàm phân bố tích lũy nghịch đảo) cho Exponential(λ) là

F − 1 ( p ; λ ) = − ln ⁡ ( 1 − p ) λ , {\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!}

với 0 ≤ p < 1 {\displaystyle 0\leq p<1} .

Có các tứ phân vị sau:

Tứ phân vị thứ nhất ln ⁡ ( 4 / 3 ) / λ {\displaystyle \ln(4/3)/\lambda \,} Trung vị (tứ phân vị thứ hai) ln ⁡ ( 2 ) / λ {\displaystyle \ln(2)/\lambda \,} Tứ phân vị thứ ba ln ⁡ ( 4 ) / λ {\displaystyle \ln(4)/\lambda \,}

Entropy

Trong số tất cả các phân bố xác suất liên tục với hỗ trợ [0,∞) và giá trị trung bình μ, phân phối mũ với λ = 1/μ có entropy lớn nhất.